№1

lim (∆x→0) ∆f/∆x = f’(x)

∆f/∆x = f’(x)+α(∆x), где

lim (∆x→0) α(∆x)=0

∆f = f’(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x

Опред-е: диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-ю аргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению с прир-м аргумента.

df(x)=k∙∆x

∆f-df(x)=0(∆x)

∆f=df(x)+ 0(∆x)

Теорема: д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт. (∙), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (∙).

df(x)= f’(x) ∙∆x

y=x

dx=∆x

df(x)= f’(x)dx

№2

Св-ва диф-а:

dc=0

d(cf(x))=cdf(x)

d(ax+b)=ad(x), где a и b-пост. величины

d(u ± v)= du ± dv

d(uv)=udv+vdu

d(u/v)=( vdu-udv)/v2

df(u(x))=f’u(u)du

dφ(u)= φ’(u)du

№3

Будем предполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит от конкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.

df(x)=f’(x)dx

d(df(x))=d2f(x)=d(f’(x)dx)=dx∙d(f’(x))=dxf”(x)dx=f”(x)∙dx2

d2f(x)/ dx2= f”(x)