Лекция №5

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)n=1/e e=2,7183

n+

0an=1-1/n1 nN, то есть an=(1-1/n)n- ограниченна.

n+1an=n+1(1-1/n)n1=n+1(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

n+1(1-1/n)n<1-1/n+1

(1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1

an<an+1 nN последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)n – имеет конечный предел

lim(1-1/n)n=1/e

n+

Следствие

lim(1+1/n)n=e

n+

lim1/(1+1/n)n=(n/n+1)n=[1-1/(n+1)]n+1/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

n+

lim[1/(1+1/n)n]=1/e

n+

lim(1+1/n)n=e

n+

Определение под последовательности

Пусть дана an зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n1<n2<n3<…<nk<….

an1,an2,…,ank,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.